루트 계산법. 쉽고 빠르게 계산하는 방법, n제곱근

루트 계산법. 쉽고 빠르게 계산하는 방법, n제곱근

<출처> Ray 수학 YouTube

혹시

를 소수로

표현해 보신 적이 있으신가요?

는 제곱하면 2인 것은 알지만,

한 번도 계산해 본 적은 없을 겁니다.

x > 0일 때,

x =

라 한다.

물론 계산기에 넣어본다면

우리가 알고 있는 1.414가 나오긴 하지만,

연필과 종이만 있을 때

를 찾으려면 어떻게 해야 할까요?

가장 먼저 떠오르는 방법은

1.4의 제곱은 1.96이고

1.5의 제곱은 2.25이므로

1.45의 제곱은 2.1025임을 계산하면서

2에 근접하는 숫자를 계속 찾아나갑니다.

그런데 이는

추측하고 계산하고 확인하는 작업을

반복해야 하기 때문에 복잡합니다.

그렇다면, 어떻게 해야

빠르게 근삿값을 찾을 수 있을까요?

 

뜬금없지만,

다음과 같이 귀납적으로 정의된

수열을 하나 가져오겠습니다.

이 수열은 수렴할까요?

이 수열은 an

에 대해 정리하여

판별식을 사용하면

항상

루트 s보다 큽니다.

그리고 이웃하는 두 항 중

이전 항의 크기가 항상

더 크므로 감소합니다.

그렇다면,

하한이 있는데 계속 감소하므로

수렴한다.

로 볼 수 있습니다.

 

이제 수렴 값을 알파로 하면,

양변이 극한을 취해

수열이 루트 s에 수렴한다는 것을

알 수 있습니다.

따라서 ​

를 구하려면

s = 2, a1 = 1

s, a를 놓고

초항인 1을 대입해서 계산하면

수열이

의 수렴하면서

의 근삿값을 찾을 수 있게 됩니다.

그리고 이 과정을 단 네 번만 진행해도

와 소수점 아래 11자리까지 같은 것을

알 수 있습니다.

이 방법은 바빌로니아법이라 불리며

기원전 1500년 경에 사용했습니다.

이 수열을 이용하면

원하는 수준의

정확도로

를 계산할 수 있으며

비슷한 방법으로 수열을 만들면

3제곱 근이나 4제곱 근도

계산할 수 있습니다.

이외에도 연분수를 이용하여

제곱근을 근사하거나

접선을 이용하여 근을 찾는

방법들도 있습니다.

<출처> Ray 수학 YouTube